By B. L. van der Waerden (auth.)

In unnachahmlicher Weise versteht van der Waerden es, das Wesentliche einer mathematischen Theorie oder eines Teilgebietes verständlich und einprägsam zugleich darzustellen. Die beiden nun neu vorgelegten Bände der Algebra haben mehrere Generationen von Mathematikern als Einführung in die Algebra gedient, und viele greifen auch heute noch zu seinen Ausführungen, die nichts von ihrer Frische und Kraft verloren haben. Das Geleitwort von Jürgen Neukirch unterstreicht, welchen ganz besondern Stellenwert dieses Lehrbuch im deutschen Sprachraum einnimmt.

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Der Kern ist das zweiseitige Ideal {O}: m. 1st der Kern das Nullideal, also der Homomorphismus ein Isomorphismus, so heiBt die Darstellung treu. Die Darstellung a~A heiBt (wie in § 87) reduzibel, wenn der Darstellungsmodul m einen von to} und m verschiedenen Untermodul m hesitzt. Gibt es keinen solchen Untermodul, ist also m einfach, so heiBt die Darstellung a ~ A irreduzibel. 1st der Modul m vollstandig reduzibel im Sinne von § 53, also direkte Summe von einfachen Moduln, so heiBt auch die Darstellung vollstiindig reduzibel.

34 Algebren E. WITT, J. reine u. angew. Math. 177 (1937), S. 152 und Abh. math. Sem. Univ. Hamburg 14 (1941), S. 289. H. FREUDENTHAL, Proc. Akad. 369 und 487; A 69 (1956), S. 511; A 61 (1958), S. 379. In diesem Buch beschrinken wir uns auf assoziative Algebren endlicher Dimension iiber P. Das Wort Algebra ist von jetzt an immer in diesem eingeschrinkten Sinn gemeint. § 92. Direkte Summen und Durchsdtnitte EMMY NOETHER betonte in ihren Vorlesungen immer wieder die Wichtigkeit des Zusammenhangs zwischen direkten Summen- und Durchschnittsdarstellungen von Moduln.

I S pus durch die Formel pus = usps Nun definiert man die Produkte (11) und die Produkte USUT durch (12) wobei die Faktoren ~s. T zunachst beliebige, von Null verschiedene Elemente von 1: sind. Algebren 46 Mittels (11) und (12) kann man zwei beliebige Summen (lO) miteinander multiplizieren, indem man die einzelnen Glieder multipliziert: UsP' UTY = usuTPTy = UST~S. TPTy und die so erhaltenen Produkte addiert. Damit die durch das Faktorensystem ~s. T definiert6 Multiplikation assoziativ ist, mussen die ~s.

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